Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов каноническое уравнение : - эллипс, - гипербола, px - парабола. Эллипс — геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек иназываемых фокусами, есть величина постоянная 2 aбольшая, чем расстояние между фокусами 2 c :. Эллипс, заданный каноническим уравнением: симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса большой и малой соответственноточки,называются его вершинами. Число называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его « сплюснутости» при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною. Гипербола — геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек иназываемых фокусами, есть величина постоянная 2 aменьшая, чем расстояние между фокусами 2 c :. Гипербола, заданная каноническим уравнением: симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси О Параметр а называется вещественной полуосью, b — мнимой полуосью. Числоназывается эксцентриситетом гиперболы. Прямые называются асимптотами гиперболы. Гипербола, заданная каноническим уравнением : илиназывается сопряжённой имеет те же асимптоты. Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось О Y в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси О В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a — мнимой полуосью. Э ксцентриситет вычисляется по формуле:. Парабола — множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки Fназываемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой:. Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ. Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси О Парабола имеет фокус и директрису. Парабола имеет фокус и директрису. Решение: а по условию ; ; ; ; из соотношений. Написать уравнение параболы, зная, что: а парабола проходит через точки 0,0 ; 3,6 и симметрична относительно оси ОХ, б парабола проходит через точки 0,0 ; 4,2 и симметрична относительно оси О Решение: а Точка 3,6 лежит на параболе, поэтому- уравнение директрисы - уравнение параболы б Точка 4,2 лежит на параболе, поэтому - уравнение директрисы, - уравнение параболы. Оно задаёт кривую второго порядка. Наша цель: поменять систему координат так, чтобы максимально упростить данное уравнение. Техника преобразований на данном этапе заключается в выделении полного квадрата. Таким образом, мы получим канонические уравнения кривых второго порядка. Всего возможны 9 качественно различных случаев включая случаи вырождения и распадения : 1. Записать классическое уравнение гиперболы в канонической форме. Совершенно аналогично, каноническое уравнение для гиперболы будет иметь вид :. Рассмотрим уравнение: A и C одновременно. В каждом из случаев 123 могут встретиться вырожденные кривые, которыми мы заниматься не будем. Для тогочтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром: 1 это уравнение эллипса с центром и осями, параллельными осям и ; 2 иэти уравнения определяют гиперболы с центром и осями, параллельными координатным; 3 это параболы с вершиной и осью, параллельной одной из координатных. Ветви направлены вниз, параметр. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения Теорема. Сечением любого круглого конуса плоскостью не проходящей через его вершину определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом, гиперболой или параболой. При этомесли плоскость пересекает только одну полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая — парабола; если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении образуется гипербола. Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка. Из рисунка видно, что, поворачивая секущую плоскость вокруг прямой PQмы меняем кривую сечения. Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной плоскости конуса. Таким образом, эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями.

Смотрите также: